Vor einiger Zeit bin ich auf eine Art von Fraktalen gestoßen, die mich sofort in ihren Bann gezogen haben :
[en] http://en.wikipedia.org/wiki/Apollonian_gasket
[fr] http://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_d%27Apollonius
Diesen Wikipedia Artikel gibts leider nicht in deutsch.

Die Inspiration kam von Jos Leys.
[en] http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=225
M.E. lohnt es sich unbedingt, alle Bilder und Animationen von Jos Leys anzusehen.
[en] http://www.josleys.com/galleries.php

Der Name "apollonische Kreise" geht auf den griechischen Mathematiker Apollonius von Perge zurück, der 262 vor unserer Zeitrechnung geboren wurde.
[de] http://de.wikipedia.org/wiki/Apollonios_von_Perge
[en] http://en.wikipedia.org/wiki/Apollonius_of_Perga

[de] http://de.wikipedia.org/wiki/Apollonisches_Problem
[en] http://en.wikipedia.org/wiki/Problem_of_Apollonius
Der englische Artikel ist umfangreicher ( besser ). Im deutschen Artikel fehlen u.a. die Verweise auf Frederick Soddy und den Satz von Descartes.

[de] http://de.wikipedia.org/wiki/Frederick_Soddy
[en] http://en.wikipedia.org/wiki/Frederick_Soddy

[de] http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Descartes
[en] http://en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_theorem

Ich finde sehr amüsant, daß Frederick Soddy Descartes Satz in Gedichtform gebracht hat

The Kiss Precise
by Frederick Soddy

For pairs of lips to kiss maybe
Involves no trigonometry.
'Tis not so when four circles kiss
Each one the other three.
To bring this off the four must be
As three in one or one in three.
If one in three, beyond a doubt
Each gets three kisses from without.
If three in one, then is that one
Thrice kissed internally.

Four circles to the kissing come.
The smaller are the benter.
The bend is just the inverse of
The distance from the center.
Though their intrigue left Euclid dumb
There's now no need for rule of thumb.
Since zero bend's a dead straight line
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends
Is half the square of their sum.

To spy out spherical affairs
An oscular surveyor
Might find the task laborious,
The sphere is much the gayer,
And now besides the pair of pairs
A fifth sphere in the kissing shares.
Yet, signs and zero as before,
For each to kiss the other four
The square of the sum of all five bends
Is thrice the sum of their squares.

In _Nature_, June 20, 1936

Witzig wird es, wenn man deutsch und englisch vermischt : "Apollonian Gasket" heißt "Apollonische Dichtung", aber nicht im Sinn "Gedicht" sondern wie "Dichtungsring".


Ein weiterer Artikel zu Soddys Formel, der auch eine Ergänzung zum Gedicht "The Kiss Precise" enthält :
[en] http://www.pballew.net/soddy.html

Viele Illustrationen zum Thema sind hier zu finden
[en] http://www.ac-noumea.nc/maths/amc/polyhedr/packing_.htm

und auf einigen französischen Seiten
[fr] http://pagesperso-orange.fr/math-a-mater/pack/packingcircle.htm
[fr] http://pagesperso-orange.fr/math-a-mater/pack/packing.htm
[fr] http://pagesperso-orange.fr/math-a-mater/

Nur wer wirklich an Mathematik interessiert ist, sollte sich auf jeden Fall die Seiten bei MathWorld (Eric W. Weisstein) andehen :
[en] http://mathworld.wolfram.com/SoddyCircles.html
[en] http://mathworld.wolfram.com/TangentSpheres.html
[en] http://mathworld.wolfram.com/BowlofIntegers.html


Mit einer wesentlich einfacheren Methode als der von Descartes/Soddy kann man die gleichen Ergebnisse erzielen :
[en] http://en.wikipedia.org/wiki/Inversive_geometry
[de] http://de.wikipedia.org/wiki/Inversion_(Geometrie)