(Scroll down for an English version :-)
Τα τελευταία χρόνια με απασχολεί ιδιαίτερα η ερώτηση: Τί είναι τα μαθηματικά; Τα μαθηματικά ήταν πάντα μέρος της ζωής μου με τον έναν ή τον άλλον τρόπο. Ξεκίνησα περνώντας από το σχολείο - και συγκεκριμένα από το ελληνικό δημόσιο σχολείο - όπου τα μαθηματικά μοιάζουν να είναι μια συλλογή από μυστηριώδεις (ως προς την προέλευσή τους) τύπους και εξισώσεις που μπορούν, αν είσαι τυχερός και γνωρίζεις μερικά μαγικά τρικ, να σε βοηθήσουν να λύσεις τις ασκήσεις του βιβλίου. Εγώ ήμουν τυχερή, με πατέρα μαθηματικό ο οποίος πάντα φρόντιζε να με βοηθάει να ανακαλύπτω τα τρικ. Παρ’όλα αυτά φτάνοντας στο πανεπιστήμιο ως προτοετής φοιτήτρια έπαθα ένα σοκ που φαντάζομαι το παθαίνουν οι περισσότεροι έλληνες πρωτοετείς του Μαθηματικού τμήματος. Οι καθηγητές μοιάζαν απρόσιτοι και μιλούσαν, ως επι τω πλείστον, μια «ξένη» γλώσσα...Γιατί δε μας μαθαίνουν τα τρικ; Γιατί δεν ασχολούνται μαζί μας; Πού πήγαν όλα αυτά που μάθαμε στο σχολείο; Τι θα απογίνουμε;
Ήθελε κόπο και πόνο για να καταλάβεις το παιχνίδι των μαθηματικών. Ήθελε υπομονή. Το οποίο κατά τη γνώμη μου είναι το κυρίως συστατικό της επιτυχίας. Υπομονή και επιμονή (κάτι που πρέπει να ομολογήσω δεν είχα πάντα). Σαφώς δε φτάνει μόνο αυτό. Χρειάζεται αστείρευτη φαντασία και δημιουργικότητα. Αυτά δηλαδή που κανείς στο σχολείο δε σου λέει... Αυτά που φοβάται να σου πει ο καθηγητής σου, μπας και η φαντασία σου είναι τόσο αχαλίνωτη που να μη μπορεί να την τιθασεύσει... Μπας και η δημιουργικότητά σου ξεπεράσει την δική του και ξεγυμνωθεί μπροστά σου... Ή απλά επειδή δεν τα γνωρίζει ούτε ο ίδιος. Επειδή ποτέ δεν κατάλαβε τι ακριβώς είναι τα μαθηματικά. Επειδή τα μαθηματικά δυστυχώς για τον περισσότερο κόσμο είναι απλά ένα καταναγκαστικό έργο που πρέπει να το κάνεις απλά και μόνο για να μπορέσεις να περάσεις τις εξετάσεις ώστε τελικά να κάνεις αυτό που θέλεις στη ζωή σου. Και αυτό γιατί υπάρχουν ελάχιστοι καθηγητές που μπορούν να εμπνεύσουν το μαθητή και να βγάλουν στην επιφάνεια τη φαντασία και τη δημιουργικότητά του.
Όσο περνούσαν τα χρόνια, μέσα στο πανεπιστήμιο, αισθανόμουν όλο και πιο έντονα ότι η διαίσθηση που είχα οτι τα μαθηματικά δε μπορεί να είναι απλά μια συλλογή μαγικών τρικ ήταν κάτι παραπάνω από διαίσθηση. Δε μπορεί τα μαθηματικά να είναι χρήσιμα κυρίως για να περάσεις τη δοκιμασία της εξεταστικής μόνο και μόνο για να πάρεις ένα πτυχίο (το οποίο πτυχίο θα σε βοηθήσει να μπεις τελικά στην επετηρίδα και να περιμένεις να γίνεις καθηγητής ώστε να δείξεις και σε άλλους ανυποψίαστους μαθητες αυτά τα περίεργα τρικ και να τους ετοιμάσεις για τις δικές τους εξετάσεις κ.ο.κ.).
Τα μαθηματικά είναι κάτι περισσότερο, κάτι πιο μεγάλο, κάτι σχεδόν ασύλληπτο το οποίο παρ’όλα αυτά είναι εκεί. Μπορείς να το αγγίξεις, να παίξεις μαζί του, να το αλλάξεις, να το διαμορφώσεις όπως εσυ θέλεις αρκεί να είσαι συνεπής. Να μην φάσκεις και αντιφάσκεις... Γιατί δεν μας το είπε κανείς αυτό στο σχολείο; Γιατί δεν μας άφησε κανείς να παίξουμε μαθηματικά; Γιατί δε μας έδειξαν πώς παίζεται το παιχνίδι; Γιατί μας φλόμωναν απλά με τύπους και με δύσκολες διατυπώσεις θεωρημάτων;
Κάποιες αλήθειες, που ενώ μπορεί να βασάνισαν πολλούς μαθηματικούς επί αιώνες μέχρι να διαπιστωθεί ότι είναι αλήθειες, οι μαθητές τις σερβίρονται ως αυτονόητες αλήθειες διατυπωμένες σε ένα χαρτί. Για τους μαθητές δεν τίθεται καν το ζήτημα να διαπιστώσουν μόνοι τους αν ένα θεώρημα είναι αλήθεια και γιατί. Αφού το λέει το βιβλίο! Αυτό μας έλειπε, να αρχίσουμε να αμφισβητούμε τα βιβλία τωρα... «Ορίστε ένα θεώρημα. Να ξέρετε ότι αυτό ισχύει. Ορίστε και η απόδειξη. Εσείς κάντε τις εφαρμογές του βιβλίου. Πάμε στο επόμενο.» Τι απίστευτα βαρετή διαδικασία!!! Και τι δύσκολο να καταλάβεις τι αναπαριστούν όλα αυτά τα σύμβολα!! Σκεφτεται ο κακόμοιρος μαθητής, και πολύ έυστοχα με βάση τις εμπειρίες του: «Οι μαθηματικοί πρέπει να είναι πολύ έξυπνοι άνθρωποι και μάλλον εγώ, ένας απλός μαθητής είμαι τελείως βλάκας... Μάλλον απλά δεν τα παίρνω τα μαθηματικά. Αυτο άλλωστε λέει όλη την ώρα και ο μπαμπάς. Καλύτερα να τα παρατήσω και να ασχοληθώ με κάτι άλλο. Απλά να μάθω μερικούς τύπους για να περάσω τις εξετάσεις. Μακάρι να βάλει ευκολα θέματα στο διαγώνισμα...».
Πόσο λυπηρό... Μαθαίνουμε να μισούμε τα μαθηματικά και τους εαυτούς μας χωρίς καν να γνωρίζουμε τι πραγματικά είναι τα μαθηματικά!!! Όπως μαθαίνουμε να μισούμε τη Χημεία (στο σχολείο – το ελληνικό δημόσιο σχολείο ξαναχτυπά...) επειδή δεν έχουμε δει ποτέ τί είναι Χημεία. Χωρίς να έχουμε μπει καν σε εργαστήριο Χημείας! Όπως μαθαίνουμε να μισούμε τη Φυσική χωρίς να ξέρουμε καν τι είναι. Τι κάνουν πια αυτοί οι επιστήμονες; Σκέφτονται τύπους και λύνουν όλη μέρα ασκήσεις; Μα τι βαρετό!! Και πώς τα θυμούνται όλα;
Τα σχολεία μας είναι περισσότερο σχολεία μίσους. Σου δείχνουν πόσο βαρετά και άσκοπα είναι τα μαθηματικά, η φυσική, η χημεία, έτσι ώστε να σε κάνουν να τα μισείς. Αλλά ας μην περιοριστούμε στις θετικές επιστήμες. Η ιστορία για παράδειγμα. Πόσο στατικό και βαρετό σχολικό μάθημα... Όλα έχουν γίνει αιώνες πριν. Πάει και τελείωσε. Εμείς τα μαθαίνουμε απ’έξω για να περάσουμε τις εξετάσεις. Τι κάνει ένας ιστορικός; Τι κάνουν οι ιστορικοί ως επιστήμονες; Ποιά έιναι η δουλειά τους; Ούτε λόγος...
Το όνειρό μου ήταν να καταφέρω κάποια μέρα να γίνω καθηγήτρια μαθηματικών στο σχολείο ώστε να κάνω αυτό που δεν έβλεπα κανέναν καθηγητή να κάνει. Να εξηγήσω στους μαθητές πώς να παίζουν μαθηματικά. (Θα μπορούσε να υποστηρίξει κανείς ότι η λέξη "παιζουν" στην προηγούμενη πρόταση πρέπει να μπει σε εισαγωγικά. Αλλά θα επιμείνω πως δεν χρειάζεται.) Nα τους κάνω να νιώσουν ότι όλοι μπορούν να παίξουν μαθηματικά. Δεν γίνονται διακρίσεις. Δεν υπάρχουν βλάκες και έξυπνοι. Μπορεί φυσικά σε κάποιον το παιχνίδι να αρέσει περισσότερο από κάποιον άλλον, είναι τελικά και αυτό θέμα γούστου όπως κάθε τι. Αλλά κανείς δε μπορεί να ξέρει αν του αρέσει ή όχι το παιχνίδι πριν το δοκιμάσει!! Πρέπει να καταλάβεις τι είναι το σκάκι, να παίξεις μερικά παιχνίδια, μέχρι να διαπιστώσεις ότι δε σου αρέσει. Πρέπει να παίξεις μερικές φορές μπάσκετ για να αποφασίσεις ότι προτιμάς το βόλλεϋ... Πρέπει να καταλάβεις τί είναι τα μαθηματικά, να ανακαλύψεις μερικές έννοιες από μόνος σου, για να αποφασίσεις ότι τα μαθηματικά είναι κάτι βαρετό ή κάτι που σ’αρέσει πολύ να κάνεις.
Μ’αυτά και μ’αυτά, έκανα ένα μεταπτυχιακό στη Λογική, πράγμα που με βοήθησε να καταλάβω καλύτερα τι είναι τα μαθηματικά, δηλαδή, τι είναι αυτο που κρατάει απασχολημένους τους μαθηματικούς εδώ και αιώνες. Είδα πράγματα που στο πανεπιστήμιο ούτε που τα φανταζόμουνα... Ασχολήθηκα με τη μελέτη των θεμελίων των μαθηματικών. Έτσι αποφάσισα ότι δεν μπορώ να είμαι μαθηματικός με την πραγματική έννοια της λέξης. Δηλαδή δε θέλω να ασχοληθώ με την έρευνα στα μαθηματικά, με την ανακάλυψη νέων αληθειών. Θα απαιτούσε περισσότερη υπομονή και επιμονή από όση έχω αυτή τη στιγμή για να το κάνω και αυτό είναι ο μόνος λόγος. Ίσως αν είχα την ίδια αντίληψη του τί είναι μαθηματικά όταν ήμουν στο πρώτο έτος του πανεπιστημίου να είχα τότε την υπομονή και την υπομονή, ποτέ δε θα το ξέρω αυτό, αλλά τώρα σίγουρα δεν την έχω. Παρ’όλα αυτά έχω ακόμα το όνειρο να δείξω, σε αυτούς που ξεκινάνε να ανακαλύπτουν τον κόσμο, τι είναι μαθηματικά. Να τους δείξω τους κανόνες του παιχνιδιού έτσι ώστε είτε αποφασίσουν ότι τους αρέσει είτε όχι να γνωρίζουν τουλάχιστον τι είναι αυτό που απέρριψαν ή που θέλουν να κάνουν για την υπόλοιπη ζωή τους.
Τα τελευταία χρόνια έχω διαβάσει πάρα πολλά άρθρα και βιβλία σχετικά με το τί είναι μαθηματικά και ποιές μέθοδοι διδασκαλίας των μαθηματικών είναι αποτελεσματικές για αυτό που θέλω να κάνω. Ανακάλυψα, μέσα από τα γραπτά τους, υπέροχους ανθρώπους που μοιράζονται τις ίδιες ανησυχίες με τις δικές μου. Ποτέ δεν είχα το χρόνο μοιραστώ αυτές τις σκέψεις με τους φίλους μου που ίσως να έχουν κι αυτοί τις ίδιες ανησυχίες όχι απαραίτητα για τα μαθηματικά αλλά για τις δικές τους επιστήμες ο καθένας. Αυτό θέλω να κάνω τώρα. Πιστεύω πως αξίζει τον κόπο να ασχοληθεί κανείς. Να δείξει στους νέους ανθρώπους γιατί κάνουν αυτά που κάνουν. Να τους κάνει να νιώσουν ότι δεν πηγαινοέρχονται στο σχολείο χωρίς λόγο. Ειδικά στην Ελλάδα σήμερα, αυτό είναι το μόνο όπλο που μας έχει απομείνει για να παλεψουμε τη χαζομάρα και τη βαρεμάρα στην οποία μας έχουνε βυθίσει αυτοί που έχουν την τσέπη τους γεμάτη και το μυαλό τους διαστρεβλωμένο...
Αυτόν τον καιρό διδάσκω γεωμετρία σε ένα γυμνάσιο της Κατερίνης στα πλαίσια της διπλωματικής μου εργασίας για το μεταπτυχιακό Mathematics and Science Education. Σε ένα μήνα θα ξεκινήσω την "καριέρα" μου ως καθηγήτρια σε ένα διεθνές σχολείο στο Άμστερνταμ. Περισσότερο τώρα παρά ποτέ, θέλω να κάνω όλα αυτά που διάβασα και όλα αυτά που νιώθω πράξη! Ξέρω οτι αυτό θα είναι πολύ πιο δύσκολο απ' ό,τι φαντάζομαι, και δεν είναι καθόλου σίγουρο αν θα καταφέρω να κάνω πράξη αυτά που πιστεύω στη θεωρία. Ας είμαστε ονειροπόλοι αλλά και ρεαλιστές... Γι αυτό, θα ανεβάζω εδώ βήμα βήμα αυτά που έχω διαβάσει και μου έχουν κάνει εντύπωση με σκοπό να μοιραστώ μαζί σας τις σκέψεις μου και να μου πείτε και εσείς τη γνώμη σας. Υπάρχουν απλούστατες ιδέες για να κάνει κάποιος ένα μάθημα πιο διασκεδαστικό και πιο ουσιαστικό. Θα ήταν όμορφο να ανοίξουμε ένα διάλογο. Και προφανώς οι συμβουλές απο τους πιο έμπειρους είναι ευπρόσδεκτες! :-)
Θα ξεκινήσω πολύ σύντομα με την πρώτη ανάρτηση: Σκέψεις για τα μαθηματικά Νο. 1
----------------------------------------------------
The last few years I am particularly occupied, directly or indirectly, with the question: What is mathematics? Mathematics has always been a part of my life one way or another. I started by going through school – and specifically through the Greek public school – where mathematics seemed to be a collection of mysterious (with regards to their origin) formulas and equations which may, if you are lucky and know a few magic tricks, help you solve the book’s exercises. I was lucky to have my father, a mathematics teacher himself, who always took care of helping me discover the tricks. Nevertheless, when I arrived to university as a first year student I was shocked which I imagine happens to most first year Greek students of the Mathematics department. Professors seemed unapproachable and used to talk mostly in a “strange” language… Why don’t they teach us the tricks? Why don’t they pay attention to us? Where is all that which we learned in school? What is going to become of us?
It required effort and pain in order to understand the game of mathematics. It required patience. This in my opinion is the main ingredient of success: patience and perseverance (something which I did not always have, I must admit). Of course this is not sufficient. It requires also plenty of imagination and creativity. That is, all these things that no one at school is teaching you… These things that your teacher is afraid of telling you, just in case your imagination is so uncontrollable that he cannot tame it… Just in case your creativity is beyond his and he remains exposed in front of you… Or simply because he never understood himself what exactly mathematics is. Because mathematics for most of the people is, unfortunately, simply an onerous task which you have to do in order to pass the exam so that you finally do that which you really want to do in your life - meaning something other than mathematics of course. And this is because there are very few teachers who can inspire and bring out the imagination and the creativity of students.
As the years passed in the university, I felt more and more intensely that mathematics can’t be simply a collection of magic tricks which are useful mostly for passing the exam and only for the sake of getting a grade or degree. (Which degree – at least in Greece – will help you get in the line for waiting to become a teacher so that you show to other unwarned students those weird tricks and prepare them for their exams and so on and so forth…)
Mathematics is something more, something bigger, something nearly inconceivable which nevertheless is there. You can touch it, you can play with it, you can change it, you can form it the way you like as long as you are consistent. You should not contradict yourself…. That’s the main rule. Why no one told us at school? Why did nobody let us play mathematics? Why didn’t they show as how the game is played? Why did they simply throw on us rules and theorems phrased in an incomprehensible way?
Some truths that although they might have tortured the minds of many mathematicians for centuries until it was finally shown that they are indeed true, are being served to students as obvious truths simply put on a paper by "those who we shouldn't doubt." For students it is not even an option to try and see for themselves whether a theorem is true and why. The book says that! Don’t say that we should start doubting what the books say now… "Here is a theorem. You should know that this is true. Here is the proof. You should just do the applications in the book. Let’s move on to the next." What an awfully boring procedure!!! And how difficult to understand what all these symbols represent!! The poor student thinks, and he is right to do so based on his experiences: "Mathematicians must be very smart people, and probably I, a mere student, am completely stupid…. Possibly I just can’t get mathematics. Besides, this is what my father says all the time. It is better to quit trying and get busy with something else. Just learning by heart some formulas in order to pass the exam will do. I hope the teacher puts easy exercises on the exam…"
How sad… We learn how to hate mathematics (and ourselves) without even knowing what really mathematics is! Like we learn to hate Chemistry (in school - the Greek public school wins again!). Because we never saw what Chemistry is. Without having ever entered a Chemistry lab! Like we learn to hate Physics without knowing what it is. What do those scientists do after all? Do they only come up with formulas and solve exercises? How boring!!! And how do they remember everything?
Our schools are schools of hate. They show you how boring and worthless it is to do math, chemistry, physics, so that you hate these subjects. But let us not constrain ourselves to these sciences. Take History for example. How static and boring a lesson… Everything has happened centuries back. Done and finished. We learn it by heart in order to pass the exam. What does a historian do? What do historians do as scientists? What is their job? Not a word for that in school… Why should students bother with that?
My dream was to manage one day to become a teacher of mathematics in order to do what I saw no teacher doing. To explain to young students how to play mathematics. (One might suggest that the word “play” in the previous sentence needs to be in quotation marks. But I insist that it is unnecessary.) To make them feel that they can all play mathematics. There is no discrimination. Of course it might be the case that someone likes the game more than someone else, this is after all mainly a matter of taste like everything else is. But no one can know if he likes the game or not before trying it! You have to understand what chess is and play a few games before finding out that you don’t (or you do) like it. You have to play basketball several times before you decide you prefer volleyball. You have to understand what mathematics is and to discover new concepts by yourself, before you decide that mathematics is something boring or maybe something you really like to do.
With this and with that, I did a Masters in Logic, which helped me get a clearer idea of what mathematics is. I saw things which in my university years I couldn’t even imagine… I was occupied for a while with studying the foundations of mathematics. It is then when I decided that I can’t be a mathematician with the real meaning of the word. That is, I don’t want to get involved with research in mathematics and with the discovery of new mathematical truths. It would demand more patience and perseverance than the amount I have at the moment. Maybe if I had the same idea about what mathematics is back when I was in my first years of undergraduate studies I would then have the necessary patience and perseverance, but right now I don’t. However, I still have the dream to show to those who now begin discovering the world what mathematics is. To show them the rules of the game so that, whether or not they decide that they like it, they will know at least what it is that they rejected or that they wanted to do for the rest of their lives.
These last few years I have read plenty of articles and books regarding the questions of what mathematics is and of which methods of teaching mathematics might be effective for what I want to do. I discovered, through their writings, wonderful people who share my worries. I never had the time to share with my friends these worries of mine which maybe they also have -- not necessarily for math but for their own sciences. This is what I want to do now. I believe it is worth the effort for someone to spend some time on that. On thinking what's the best way of showing to young people why they are doing what they are doing. On making them feel they don’t keep going back and forth to school without reason.
These days I am teaching geometry in a middle school in Katerini as part of my research for my Master’s (in Mathematics and Science Education) thesis. In a month I will begin my professional life as a teacher in an International School in Amsterdam. Now more than ever I feel the need to make true all that I have read and all that I feel. I know that this will be much more difficult than what I can possibly imagine, and that it is not at all certain that I will manage to do in practice what I believe in theory. Let us dream but also be a bit realistic... For this reason, I will upload here in my blog, step by step, some of the things I have read and I thought were really impressive so that I can share my thoughts with you and so that you can also tell me your opinion. There exist very simple ideas for teachers to make a lesson more enjoyable and more meaningful. It would be great to start a dialogue. And of course, advice from the more experienced teachers is more than welcome! :-)
I will start very soon with the first post: Thoughts about mathematics – No.1
This form is secure
Send a message
Search for a member
This post is public
