Les côtes bretonnes et les nombres complexes.

Voici l'histoire (simplifiée) d'une découverte (ces jours-ci je suis dans le clan des inventeurs et non des découvreurs, mais je change assez souvent) majeure des mathématiques moderne : les fractales. Les applications découlant de cette idée relativement abstraite sont nombreuses et d'une importance non négligeable. Mais n'étant pas partisan de regardez-,-les-math-c-'-est-bien-parce-que-ça-sert-à-quelque-chose je ne m'étendrais pas sur les catalyseurs en poudre, les pots d'échappements, les serpillères, les analyseurs d'image et autres peintures mates.

En 1967 le mathématicien français (il à depuis acquis la double nationalité franco-américaine) Benoit Mandelbrot s'intéresse à la longueur des côtes bretonnes (bretonnes étant selon les sources une références aux limites aqueuse entourant les anglophones d'outre-Manche ou aux belles et ensoleillées plages de Bretagne). La première mesure effectuée, il est temps de se posée la question de la pertinence des résultats. En effet la carte utilisée pour la tache est grossière et d'une échelle peu satisfaisante. La deuxième mesure donne un résultat plus important. C'est tout à fait normal car avec une carte plus précise, on prend en compte certaines pointes, certaines criques, certaines presqu'îles et autres baies, anses, ports, péninsules et rochers supplémentaires.

Une question surgit alors : "quand s'arrêter ?" s'il il faut être vraiment précis, il faudrait prendre en compte chaque grain de sable. Sans compter le problème de la marée qui vient posée un cheveux vachement concret sur une soupe délicieusement abstraite. Il n'est pas besoin d'aller très loin dans les mesures, on peut se rendre rapidement compte que la suite des mesures tends vers une valeur limite (non infinie)(1).

Après cette introduction aux fractales (elles commencent à porter ce nom à ce moment là), une étude plus générale commence. Et Mandelbrot donne quelques exemples de fractales qui deviennent rapidement célèbres dont l'ensemble de Mandelbrot. Petite définition mathématique :

Pour tout nombre complexe(2) c on associe une suite de nombre complexe c0=c ; cn+1= c + cn*cn
L'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des nombre complexe dont la suite de Mandelbrot ne diverge pas en module.

En simple, on prend un nombre complexe, on fait une série d'opérations dessus, et on voit s'il devient de plus en plus "grand". Si ce n'est pas le cas alors c'est que le nombre considéré est dans l'ensemble de Mandelbrot.

Il existe des tas de générateurs de courbe de Mandelbrot, sur internet. Néanmoins, les professeurs de programmation fonctionnelle de licence 3 de l'UFR d'informatique de l'université Pairs Diderot on pensé qu'il serait intéressant pour leur élèves d'en faire un eux même. Voici donc un petit bout de code (pas très propre) qui permet le zoom à la souris (clic dans le coin inférieur droit puis dans le coin supérieur gauche) et la modification de la précision de la courbe (a-- ; z- ; e+ ; r++) et l'interruption utilisateur (q).

Et pour les gens ne pouvant pas faire tourner les programmes CAML, voici en lot de consolation quelques images. Quand je saurais compiler des programmes qui utilisent des modules externe, je ferais une version exécutable.

Pour ceux que ça n'intéresse pas particulièrement : oh vous, qui ne vous êtes jamais arrêté devant un chou-fleur, un romanesco, un paysage montagneux, un spot d'escalade granitique, un nuage, une éponge, levez les yeux, le monde est beau ! (je me sent des envies déclamatoires ces temps ci). Vous pouvez regardez l'excellent flim "The promotion" protraitant (aussi bien dans le fond que dans la forme) l'amérique de l'emploi et du stress, de la morale et de l'ascention sociale, de l'Homme et de l'entreprise...

(1) certains lecteurs mathématiciens peuvent avoir pensé : "la suite est strictement croissante et elle est bornée. Elle devait bien converger" (qu'on traduira pour les non-initiés par "les valeures successives des mesures sont de plus en plus grande, comme elle ne peuvent pas être infini, il va bien falloir qu'elle s'arrêtent un jour !") Effectivement la courbe considérée est contenue dans une surface finie et on peut penser que sa longueur doit donc être finie. Mais tout cela est discutable et peut être facilement contre-exempler par une courbe de Von Koch.
(2) tout les mondes connait les nombres entiers (0, 1, -1, 2, -2 ...) et les nombres rationnels (on ajoute 1/2, 1/3, 1/4, 4/5 ... à l'ensemble précédent) et la majorité des gens connaissent les nombres réels (la plupart du temps sans connaitre la définition) (on ajoute Pi, racine de 2, e, le nombre d'or, racine de 3, racine de 5 ... à l'ensemble précédent). Les nombres complexes sont une extension des nombres réels qui à successivement été : une méthode de simplification des calculs ; l'objet d'une théorie mathématique ; un apport indispensable à la physique moderne.